Алгоритм евклида и его модификации. Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.

Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.

Алгоритм нахождения НОД делением

Большее число делим на меньшее.
Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
Переходим к пункту 1.

Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 / 18 = 1 (остаток 12)
18 / 12 = 1 (остаток 6)
12 / 6 = 2 (остаток 0)
Конец: НОД – это делитель 6.
НОД (30, 18) = 6

a = 50 b = 130 while a != 0 and b != 0 : if a > b: a = a % b else : b = b % a print (a + b)

В цикле в переменную a или b записывается остаток от деления. Цикл завершается, когда хотя бы одна из переменных равна нулю. Это значит, что другая содержит НОД. Однако какая именно, мы не знаем. Поэтому для НОД находим сумму этих переменных. Поскольку в одной из переменных ноль, он не оказывает влияние на результат.

Алгоритм нахождения НОД вычитанием

Из большего числа вычитаем меньшее.
Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).
Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.
Переходим к пункту 1.

Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое.
НОД (30, 18) = 6

a = 50 b = 130 while a != b: if a > b: a = a - b else : b = b - a print (a)

1.1 Применение алгоритма Евклида

Как и всякая добротно выполненная работа, алгоритм Евклида дает гораздо больше, чем от него первоначально ожидалось получить. Из его разглядывания ясно, например, что совокупность делителей а и b совпадает с совокупностью делителей (a, b). Еще он дает практический способ нахождения чисел u и v из Z (или, если угодно, из теоремы пункта 2) таких, что

r n = au + bv = (a, b).

Действительно, из цепочки равенств имеем:

r n = r n -2 - r n -1 q n = r n -2 - (r n -3 - r n -2 q n -1) q n =...

(идем по цепочке равенств снизу вверх, выражая из каждого следующего равенства остаток и подставляя его в получившееся уже к этому моменту выражение)

Au + bv = (a, b).

Несомненно, описанная Евклидом процедура определения общей меры двух величин применительно к числам (а общая мера двух натуральных чисел, очевидно, есть их наибольший общий делитель) была изобретена задолго до Евклида. Таким же образом находили НОД и древние китайские математики. И только то, что эта процедура стала известна в эпоху Возрождения именно из «Начал, дало ей название « алгоритм Евклида»

Скорее всего, она возникла из коммерческой практики древних купцов, когда им надо было сравнивать различные отношения целых чисел. Как, например, сравнивать отношения чисел 3703700 и 1234567 и чисел 22962965 и 7654321? Вполне естественна была попытка узнать, сколько раз меньшее число укладывается в большем. Легко проверить, что 3703700 = 2 · 1234567 + 1234566, а 22962965 = 3 · 7654321 + 2. Ясно теперь, что отношение 3703700 к 1234567 меньше, чем отношение 22962965 к 7654321. Таким образом, что сейчас мы записываем как

2,99999919 <= 3, 000000261,

Древние вычислители объясняли длинной фразой.

Если бы пришлось сравнить более близкие отношения чисел, например, и, то вычисления были бы более сложными:

71755875 = 61735500 + 10020375;

61735500 = 6 · 10020375 + 1613250;

10020375 = 6 · 1613250 + 340875;

1613250 = 4 · 340875 + 249750;

340875 = 249750 + 91125;

249750 = 2 · 91125 + 67500;

91125 = 67500 + 23625;

67500 = 2 · 23625 + 20250;

23625 = 20250 + 3375;

20250 = 6 · 3375.

Алгоритм Евклида здесь позволяет определить НОД чисел 71755875 и 61735500, равный 3375 и соответствует разложению отношения 71755875 к 61735500 в цепную дробь:

Алгоритм Евклида оказывается эквивалентным современной процедуре разложения числа в цепную дробь и более того, позволяет «округлить» отношения чисел, т.е. заменять дробь с большим знаменателем на очень близкую к ней дробь с меньшим знаменателем. В самом деле, выражение

равное дроби, в современной математике называется «подходящей дробью» разложения отношения б= в цепную (или непрерывную) дробь.

Ясно, что

б=1+ < 1 + и б=1 + > 1+ = ,

поскольку

Приведенное сравнение > было выполнено в III в. до н.э. Аристархом Самосским в трактате «О расстоянии и размерах Луны и Солнца».

Сейчас известно, что подходящие дроби разложения любого (рационального или иррационального) числа в цепную дробь представляют собой наилучшие рациональные приближения этого числа.

Алгоритмы с многочленами

Алгоритм Евклида - метод для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также двух многочленов от одного переменного...

Одним из древнейших математических алгоритмов является алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух положительных чисел. Вот его простейший вид. Пусть заданы два целых числа. Если они равны...

Анализ алгоритма Евклида в Евклидовых кольцах

Прежде чем, приступить к анализу алгоритма Евклида рассмотрим числа Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с 1,1 следующее число получается сложением двух предыдущих. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 …...

История формирования понятия "алгоритм". Известнейшие алгоритмы в истории математики

Алгоритм Евклида является универсальным способом, который позволяет вычислять наибольший общий делитель двух положительных целых чисел. Описание алгоритма нахождения НОД делением: 1. Большее число делим на меньшее 2. Если делится без остатка...

Кольцо целых чисел Гаусса

Мы пользуемся обычным для колец определением наибольшего общего делителя. НОДом двух гауссовых чисел называется такой их общий делитель, который делится на любой другой их общий делитель. Как и во множестве целых чисел...

Математические основы системы остаточных классов

Рассмотрим пример. Пусть р = 6. Тогда имеем шесть классов разбиения множества целых чисел по модулю 6: r = 0; r = 1; r = 2; r = 3; r = 4; r = 5; где через r обозначен остаток от деления целого числа на 6...

Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе

Пусть кольцо многочленов над. Определение 1: Пусть и, если существует многочлен, то остаток от деления равен нулю, то называется делителем многочлена и обозначается: ()...

Основные этапы становления и структура современной математики

В III веке до нашей эры в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл термин "элементарная геометрия". Несмотря на то...

На территории некого города N размещены заводы и магазины, в которые поставляется продукция с этих заводов. В результате разработки были определены возможные трассы для прокладки коммуникаций и оценена стоимость их создания для каждой трассы...

Применение методов дискретной математики в экономике

Фирме, занимающейся перевозкой скоропортящихся товаров, необходимо доставить товар из Суйфэньхе в Хабаровск, причем маршрутов, по которым можно произвести доставку несколько. Расстояние между Суйфэньхе и городом 2 составляет 15 км...

Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

Специальные методы интегрирования рациональных выражений

Пусть необходимо найти НОД многочленов и. Не ограничивая общности, будем считать, что степень не выше степени. Многочлен представим в виде: где - остаток от деления на. Тогда степень меньше степени делителя. Далее...

Теория остатков

Определение. Число d ??Z , делящее одновременно числа а, b , c , ... , k ??Z , называется общим делителем этих чисел. Наибольшее d с таким свойством называется наибольшим общим делителем. Обозначение: d = (a , b , c , ..., k) . Теорема. Если (a , b) = d...

Теория остатков

Пусть требуется решить линейное диофантово уравнение: ax + by = c , где a , b , c ??Z ; a и b - не нули. Попробуем порассуждать, глядя на это уравнение. Пусть (a , b) = d . Тогда a = a 1 d ; b = b 1 d и уравнение выглядит так: a 1 d· x + b 1 d· y = c , т.е. d· (a 1 x + b 1 y) = c...

Алгоритм Евклида нахождения НОД (наибольшего общего делителя)

Даны два целых неотрицательных числа и . Требуется найти их наибольший общий делитель, т.е. наибольшее число, которое является делителем одновременно и , и . На английском языке "наибольший общий делитель" пишется "greatest common divisor", и распространённым его обозначением является :

(здесь символом "" обозначена делимость, т.е. "" обозначает " делит ")

Когда оно из чисел равно нулю, а другое отлично от нуля, их наибольшим общим делителем, согласно определению, будет это второе число. Когда оба числа равны нулю, результат не определён (подойдёт любое бесконечно большое число), мы положим в этом случае наибольший общий делитель равным нулю. Поэтому можно говорить о таком правиле: если одно из чисел равно нулю, то их наибольший общий делитель равен второму числу.

Алгоритм Евклида , рассмотренный ниже, решает задачу нахождения наибольшего общего делителя двух чисел и за .

Данный алгоритм был впервые описан в книге Евклида "Начала" (около 300 г. до н.э.), хотя, вполне возможно, этот алгоритм имеет более раннее происхождение.

Алгоритм

Сам алгоритм чрезвычайно прост и описывается следующей формулой:

Реализация

int gcd (int a, int b) { if (b == 0 ) return a; else return gcd (b, a % b) ; }

Используя тернарный условный оператор C++, алгоритм можно записать ещё короче:

int gcd (int a, int b) { return b ? gcd (b, a % b) : a; }

Наконец, приведём и нерекурсивную форму алгоритма:

int gcd (int a, int b) { while (b) { a % = b; swap (a, b) ; } return a; }

Доказательство корректности

Сначала заметим, что при каждой итерации алгоритма Евклида его второй аргумент строго убывает, следовательно, посколько он неотрицательный, то алгоритм Евклида всегда завершается .

Для доказательства корректности нам необходимо показать, что для любых >.

Покажем, что величина, стоящая в левой части равенства, делится на настоящую в правой, а стоящая в правой — делится на стоящую в левой. Очевидно, это будет означать, что левая и правая части совпадают, что и докажет корректность алгоритма Евклида.

Обозначим . Тогда, по определению, и .

Но тогда отсюда следует:

Итак, вспоминая утверждение , получаем систему:

Воспользуемся теперь следующим простым фактом: если для каких-то трёх чисел выполнено: и , то выполняется и: . В нашей ситуации получаем:

Или, подставляя вместо его определение как , получаем:

Итак, мы провели половину доказательства: показали, что левая часть делит правую. Вторая половина доказательства производится аналогично.

Время работы

Время работы алгоритма оценивается теоремой Ламе , которая устанавливает удивительную связь алгоритма Евклида и последовательности Фибоначчи:

Если > и для некоторого , то алгоритм Евклида выполнит не более рекурсивных вызовов.

Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».

Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:

a = b · q 1 + r 1 , 0 < r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Мы можем закончить деление тогда, когда r k + 1 = 0 , при этом r k = НОД (a , b) .

Пример 1

64 и 48 .

Решение

Введем обозначения: a = 64 , b = 48 .

На основе алгоритма Евклида проведем деление 64 на 48 .

Получим 1 и остаток 16 . Получается, что q 1 = 1 , r 1 = 16 .

Вторым шагом разделим 48 на 16 , получим 3 . То есть q 2 = 3 , а r 2 = 0 . Таким образом число 16 – это наибольший общий делитель для чисел из условия.

Ответ: НОД (64 , 48) = 16 .

Пример 2

Чему равен НОД чисел 111 и 432 ?

Решение

Делим 432 на 111 . Согласно алгоритму Евклида получаем цепочку равенств 432 = 111 · 3 + 99 , 111 = 99 · 1 + 12 , 99 = 12 · 8 + 3 , 12 = 3 · 4 .

Таким образом, наибольший общий делитель чисел 111 и 432 – это 3 .

Ответ: НОД (111 , 432) = 3 .

Пример 3

Найдите наибольший общий делитель чисел 661 и 113 .

Решение

Проведем последовательно деление чисел и получим НОД (661 , 113) = 1 . Это значит, что 661 и 113 – это взаимно простые числа. Мы могли выяснить это до начала вычислений, если бы обратились к таблице простых чисел.

Ответ: НОД (661 , 113) = 1 .

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.

Пример 4

Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220 = 2 · 2 · 5 · 11 и 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 . Общими в этих двух произведениях будут множители 2 , 2 и 5 . Это значит, что НОД (220 , 600) = 2 · 2 · 5 = 20 .

Пример 5

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .

Решение

Найдем все простые множители чисел 72 и 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

Общими для двух чисел простые множители: 2 , 2 , 2 и 3 . Это значит, что НОД (72 , 96) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24 .

Ответ: НОД (72 , 96) = 24 .

Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД (m · a 1 , m · b 1) = m · НОД (a 1 , b 1) , где m – любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Независимо от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a 1 , a 2 , … , a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД (a 1 , a 2) = d 2 , НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k - 1 , a k) = d k .

Пример 6

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение

Введем обозначения: a 1 = 78 , a 2 = 294 , a 3 = 570 , a 4 = 36 .

Начнем с того, что найдем НОД чисел 78 и 294: d 2 = НОД (78 , 294) = 6 .

Теперь приступим к нахождению d 3 = НОД (d 2 , a 3) = НОД (6 , 570) . Согласно алгоритму Евклида 570 = 6 · 95 . Это значит, что d 3 = НОД (6 , 570) = 6 .

Найдем d 4 = НОД (d 3 , a 4) = НОД (6 , 36) . 36 делится на 6 без остатка. Это позволяет нам получить d 4 = НОД (6 , 36) = 6 .

d 4 = 6 , то есть, НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

Ответ:

А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.

Пример 7

Вычислите НОД чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение

Произведем разложение данных чисел на простые множители: 78 = 2 · 3 · 13 , 294 = 2 · 3 · 7 · 7 , 570 = 2 · 3 · 5 · 19 , 36 = 2 · 2 · 3 · 3 .

Для всех четырех чисел общими простыми множителями будут числа 2 и 3 .

Получается, что НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 2 · 3 = 6 .

Ответ: НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и - n имеют одинаковые делители.

Пример 8

Найдите НОД отрицательных целых чисел − 231 и − 140 .

Решение

Для выполнения вычислений возьмем модули чисел, данных в условии. Это будут числа 231 и 140 . Запишем это кратко: НОД (− 231 , − 140) = НОД (231 , 140) . Теперь применим алгоритм Евклида для нахождения простых множителей двух чисел: 231 = 140 · 1 + 91 ; 140 = 91 · 1 + 49 ; 91 = 49 · 1 + 42 ; 49 = 42 · 1 + 7 и 42 = 7 · 6 . Получаем, что НОД (231 , 140) = 7 .

А так как НОД (− 231 , − 140) = НОД (231 , 140) , то НОД чисел − 231 и − 140 равен 7 .

Ответ: НОД (− 231 , − 140) = 7 .

Пример 9

Определите НОД трех чисел − 585 , 81 и − 189 .

Решение

Заменим отрицательные числа в приведенном перечне на их абсолютные величины, получим НОД (− 585 , 81 , − 189) = НОД (585 , 81 , 189) . Затем разложим все данные числа на простые множители: 585 = 3 · 3 · 5 · 13 , 81 = 3 · 3 · 3 · 3 и 189 = 3 · 3 · 3 · 7 . Общими для трех чисел являются простые множители 3 и 3 . Получается, что НОД (585 , 81 , 189) = НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .

Ответ: НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Наибольший общий делитель

Определение 2

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.

Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.

Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:

$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$

Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=2\cdot 11=22$

Пример 2

Найти НОД одночленов $63$ и $81$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:

Разложим числа на простые множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=3\cdot 3=9$

Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.

Пример 3

Найти НОД чисел $48$ и $60$.

Решение:

Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$

Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$

Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.

Определение НОК

Определение 3

Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

Разложить числа на простые множители
Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Пример 4

Найти НОК чисел $99$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Разложить числа на простые множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Выписать множители, входящие в состав первого

добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.

Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, такие что $b

Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.

Свойства НОД и НОК

Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$

Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$

Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$

Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ - общее кратное чисел $a$ и $b$

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$