Информационные технологии.

Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи. Она имеет такую же структуру, но обладает некоторыми особенностями. В простейшем случае задачу о назначениях можно сформулировать следующим образом. Имеется несколько различных видов работ и столько же сотрудников. На каждый вид работы назначается один сотрудник. Каждый из сотрудников может выполнить любую работу, но при этом различаются оплаты сотрудников и время выполнения ими работ. Необходимо распределить работы между сотрудниками таким образом, чтобы минимизировать денежные затраты или время выполнения работ. Так же как и транспортная задача, задача о назначениях может быть сбалансированной или несбалансированной.

Пример 1. Сбалансированная задача о назначениях

Четверо рабочих могут выполнять четыре вида работ. Стоимости Сij выполнения i -м рабочим j -й работы приведены в ячейках A1:D4.

1	4	6	3	рабочий1
9	10	7	9	рабочий2
4	5	11	7	рабочий3
8	7	8	5	рабочий4
работа1	работа2	работа3	работа4

В этой таблице строки соответствуют рабочим, а столбцы работам. Необходимо составить план работ так, чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был загружен только на одной работе, а суммарная стоимость выполнения всех работ была минимальной. Отметим, что данная задача является сбалансированной, т.е. число работ совпадает с числом рабочих.

Для решения данной задачи построим её математическую модель. Пусть переменная x ij = 1, если i -ым рабочим выполняется j -ая работа, и x ij = 0, если i -ым рабочим не выполняется j -ая работа. Тогда модель имеет следующий вид:

Сформируем такую таблицу:

Ячейки A1:D4 - стоимости работ, должны быть >= 0.
Ячейки F2:I5 отведем под неизвестные. Если работник выполняет работу в ячейке 1, иначе 0. Неизвестные должны быть целыми, двоичными.
В ячейке J2 целевая функция - суммарная стоимость работ.
Левые части ограничений заданы суммами. Например:

СУММ(F2:I2) должна быть равна 1. Это говорит о том, что работник №1 выполняет только одну работу.
СУММ(F2:F5) должна быть равна 1. Это говорит о том, что работу №1 выполняет только один работник.

Найдите оптимальное решение инструментом Поиск решения .

Ответ: Стоимость работ = 18.

Пример 2. Несбалансированная задача о назначениях

Четверо рабочих могут выполнять пять видов работ. Эта задача не сбалансирована, т.к. число рабочих не равно числу видов работ. Если задача не сбалансирована, то перед началом решения её надо сбалансировать, введя недостающее число фиктивных строчек или столбцов с достаточно большими штрафными стоимостями работ. В нашей задаче добавлен фиктивный "Рабочий 5". Разберитесь самостоятельно с приведенным ниже решением задачи.

Ответ

Минимальная стоимость работ = 7.

Из решения видно, что на работу №4 назначен фиктивный рабочий №5, то есть эту работу не выполняет никто.

Задачи на работу с решениями

Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому?
Две бригады, работая одновременно, обрабатывают участок земли за 12 ч. За какое время этот участок могла бы обработать первая бригада отдельно, если скорости выполнения работы первой и второй бригадами относятся как 3: 2?
Одна бригада может убрать поле за 12 дней, а другая выполняет ту же работу за 75% времени, необходимого первой бригаде. После того как в течение 5 дней работала первая бригада, к ней присоединилась вторая и они вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?
Два мастера, из которых второй начинает работать на 1,5 дня позже первого, могут выполнить задание за 7 дней. Если бы это задание выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый мастер в отдельности выполнил бы это задание?
Бассейн может наполнится водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй - на 20 мин, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а второй - на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?
Двум машинисткам было поручено выполнить некоторое задание. Вторая приступила к работе на 1 ч позже первой. Через 3 ч после того как первая начала работу, им осталось выполнить еще всего задания. По окончании работы оказалось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. За сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить все задание?
Имеются два двигателя одинаковой мощности. Один из них, работая, израсходовал 600 г бензина, а второй, работавший на 2 ч меньше, израсходовал 384 г бензина. Если бы первый двигатель расходовал в час столько бензина, сколько второй, а второй, наоборот, столько, сколько первый, то за одно и то же время работы расход бензина в обоих двигателях был бы одинаковым. Сколько бензина в час расходует каждый двигатель?
Двое выполняют работу. Сначала первый работал времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй работал времени, за которое первый закончил бы оставшуюся часть работы. Они выполнили только все работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают ее за 3 ч 36 мин?
Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать некоторый участок дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только первая бригада, а заканчивала ремонт участка одна вторая бригада, производительность которой выше, чем у пер-вой бригады. В результате ремонт участка продолжался 40 дней, при-чем первая бригада в свое рабочее время выполнила всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?
Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стену, причем причем первый проработал 6 ч, второй - 4 ч, а третий - 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй -2 ч, третий - 5 ч, то было бы выполнено лишь всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?
В котлован равномерно поступает вода. Десять одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 ч, а 15 таких насосов - за 6 часов. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?
В резервуар поступает вода из двух труб различных диаметров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 м 3 воды. Во второй день работала лишь малая труба и подала также 14 м 3 воды, поскольку проработала на 5 ч дольше, чем в предыдущий день. В третий день обе трубы сначала подали 21 м 3 воды, а затем работала лишь большая труба, подавшая еще 20 м 3 воды, причем общая продолжительность времени подача воды была такой же, как и во второй день. Определить производительность каждой трубы.

Задачи для самостоятельного решения

Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна первая труба заполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая труба. За какое время каждая труба, действуя отдельно, наполнить бассейн? Ответ: 10 ч; 15 ч
Школьник прочел книгу в 480 страниц. Ежедневно он прочиты-вал одинаковое количество страниц. Если бы ежедневно он читал на 16 страниц больше, то прочел бы книгу за 5 дней. Сколько дней школьник читал книгу? Ответ: 6 дней
Для разгрузки парохода выделено две бригады. Если сложить промежутки времени, за которые могут самостоятельно разгрузить пароход первая и вторая бригады, то получится 12 ч. Определить эти промежутки, если их разность составляет 45% времени, за которое обе бригады могут разгрузить пароход совместно. Ответ: ч; ч
Бригада монтеров могла бы окончить проводку в 16 ч, прокладывая в час по 8 м кабеля. После выполнения половины всего задания один рабочий выбыл из бригады. В связи с этим бригада стала прокладывать по 6 м кабеля в час и закончила запланированную на день работу в 18 ч. Сколько метров кабеля было проложено и за сколько часов? Ответ: 96 мин, за 14 ч
К бассейну подключены две трубы. Через первую бассейн наполняется, а через вторую вода из бассейна вытекает. Спустя полчаса после одновременного начала работы труб первую из них также переключи-ли на спуск воды из бассейна. Через какое время после переключения первой трубы уровень воды в бассейне станет первоначальным, если производительность первой трубы вдвое больше производительности второй? Ответ: через 10 мин
Некоторое число рабочих выполнили работу за несколько дней. Если число рабочих увеличится на 3, то работа будет сделана на 2 дня скорее, а если число рабочих увеличится на 12, то на 5 дней скорее. Определите число рабочих и время, необходимое для выполнения этой работы. Ответ: 12 рабочих, 10 дней
Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов раз-ной производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 ч 30 мин. При одновременной работе обоих насосов бассейн наполнится за 1 ч 12 мин. Какую часть бассейна наполняет за 20 мин работы насос меньшей производительности? Ответ: 1/9
Пять человек выполняют некоторое задание. Первые три из них, работая вместе, выполнят все задание за 7,5 ч; первый, третий и пятый - за 5 ч; первый, третий и четвертый - за 6 ч; второй, четвертый и пятый - за 4 ч. За какое время выполнят это задание все пять человек, работая вместе? Ответ: за 3 часа
Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой - остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности? Ответ: 16 ч, 16/3 ч
Мастера A и B работали одинаковое количество дней. Если бы A работал на один день меньше, а B - на 7 дней меньше, то A заработал бы 7200 р, а B - 6480 р. Если бы, наоборот, A работал на 7 дней меньше, а B - на один день меньше, то B заработал бы на 3240 р. больше A. Сколько заработал каждый мастер в действительности? Ответ: 7500 р.; 9000 р.
Для заполнения резервуара были открыты две трубы, по которым подавали воду 20 мин, затем открыли третью трубу, и через 5 мин после этого резервуар был заполнен, а все трубы закрыты. Производительность второй трубы в 1,2 раза больше производительности первой. Через вторую и третью трубы, открытые одновременно, резервуар заполняется за 0,9 того времени, которое требуется для заполнения его через первую и третью трубы при их совместной работе. За какое время заполнится резервуар, если одновременно открыть все три трубы? Ответ: 16 мин
Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трех одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить сменное задание первой линии на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой. Найти время выполнения первой линией своего сменного задания. Ответ: 8 ч

Рабочее время - время, в течение которого работник в соответствии с правилами внутреннего трудового распорядка и условиями трудового договора должен исполнять трудовые обязанности, а также иные периоды времени, которые в соответствии с настоящим Кодексом, другими федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации относятся к рабочему времени.

Нормальная продолжительность рабочего времени не может превышать 40 часов в неделю.

Порядок исчисления нормы рабочего времени на определенные календарные периоды (месяц, квартал, год) в зависимости от установленной продолжительности рабочего времени в неделю определяется федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере труда.

(часть третья введена Федеральным законом от 22.07.2008 N 157-ФЗ)

Работодатель обязан вести учет времени, фактически отработанного каждым работником.

Статья 92. Сокращенная продолжительность рабочего времени

Сокращенная продолжительность рабочего времени устанавливается:

для работников в возрасте до шестнадцати лет - не более 24 часов в неделю;

для работников в возрасте от шестнадцати до восемнадцати лет - не более 35 часов в неделю;

для работников, являющихся инвалидами I или II группы, - не более 35 часов в неделю;

для работников, занятых на работах с вредными и (или) опасными условиями труда, - не более 36 часов в неделю в порядке, установленном Правительством Российской Федерации с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений.

(часть первая в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Продолжительность рабочего времени учащихся образовательных учреждений в возрасте до восемнадцати лет, работающих в течение учебного года в свободное от учебы время, не может превышать половины норм, установленных частью первой настоящей статьи для лиц соответствующего возраста.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Настоящим Кодексом и иными федеральными законами может устанавливаться сокращенная продолжительность рабочего времени для других категорий работников (педагогических, медицинских и других работников).

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Статья 93. Неполное рабочее время

По соглашению между работником и работодателем могут устанавливаться как при приеме на работу, так и впоследствии неполный рабочий день (смена) или неполная рабочая неделя. Работодатель обязан устанавливать неполный рабочий день (смену) или неполную рабочую неделю по просьбе беременной женщины, одного из родителей (опекуна, попечителя), имеющего ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет), а также лица, осуществляющего уход за больным членом семьи в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

При работе на условиях неполного рабочего времени оплата труда работника производится пропорционально отработанному им времени или в зависимости от выполненного им объема работ.

Работа на условиях неполного рабочего времени не влечет для работников каких-либо ограничений продолжительности ежегодного основного оплачиваемого отпуска, исчисления трудового стажа и других трудовых прав.

Статья 94. Продолжительность ежедневной работы (смены)

Продолжительность ежедневной работы (смены) не может превышать:

для работников в возрасте от пятнадцати до шестнадцати лет - 5 часов, в возрасте от шестнадцати до восемнадцати лет - 7 часов;

для учащихся общеобразовательных учреждений, образовательных учреждений начального и среднего профессионального образования, совмещающих в течение учебного года учебу с работой, в возрасте от четырнадцати до шестнадцати лет - 2,5 часа, в возрасте от шестнадцати до восемнадцати лет - 4 часов;

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

для инвалидов - в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Для работников, занятых на работах с вредными и (или) опасными условиями труда, где установлена сокращенная продолжительность рабочего времени, максимально допустимая продолжительность ежедневной работы (смены) не может превышать:

при 36-часовой рабочей неделе - 8 часов;

при 30-часовой рабочей неделе и менее - 6 часов.

Коллективным договором может быть предусмотрено увеличение продолжительности ежедневной работы (смены) по сравнению с продолжительностью ежедневной работы (смены), установленной частью второй настоящей статьи для работников, занятых на работах с вредными и (или) опасными условиями труда, при условии соблюдения предельной еженедельной продолжительности рабочего времени (часть первая статьи 92 настоящего Кодекса) и гигиенических нормативов условий труда, установленных федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.

(часть третья в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Продолжительность ежедневной работы (смены) творческих работников средств массовой информации, организаций кинематографии, теле- и видеосъемочных коллективов, театров, театральных и концертных организаций, цирков и иных лиц, участвующих в создании и (или) исполнении (экспонировании) произведений, в соответствии с перечнями работ, профессий, должностей этих работников, утверждаемыми Правительством Российской Федерации с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений, может устанавливаться коллективным договором, локальным нормативным актом, трудовым договором.

(часть четвертая введена Федеральным законом от 30.06.2006 N 90-ФЗ, в ред. Федерального закона от 28.02.2008 N 13-ФЗ)

Статья 95. Продолжительность работы накануне нерабочих праздничных и выходных дней

Продолжительность рабочего дня или смены, непосредственно предшествующих нерабочему праздничному дню, уменьшается на один час.

В непрерывно действующих организациях и на отдельных видах работ, где невозможно уменьшение продолжительности работы (смены) в предпраздничный день, переработка компенсируется предоставлением работнику дополнительного времени отдыха или, с согласия работника, оплатой по нормам, установленным для сверхурочной работы.

Накануне выходных дней продолжительность работы при шестидневной рабочей неделе не может превышать пяти часов.

Статья 96. Работа в ночное время

Ночное время - время с 22 часов до 6 часов.

Продолжительность работы (смены) в ночное время сокращается на один час без последующей отработки.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Не сокращается продолжительность работы (смены) в ночное время для работников, которым установлена сокращенная продолжительность рабочего времени, а также для работников, принятых специально для работы в ночное время, если иное не предусмотрено коллективным договором.

Продолжительность работы в ночное время уравнивается с продолжительностью работы в дневное время в тех случаях, когда это необходимо по условиям труда, а также на сменных работах при шестидневной рабочей неделе с одним выходным днем. Список указанных работ может определяться коллективным договором, локальным нормативным актом.

К работе в ночное время не допускаются: беременные женщины; работники, не достигшие возраста восемнадцати лет, за исключением лиц, участвующих в создании и (или) исполнении художественных произведений, и других категорий работников в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами. Женщины, имеющие детей в возрасте до трех лет, инвалиды, работники, имеющие детей-инвалидов, а также работники, осуществляющие уход за больными членами их семей в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, матери и отцы, воспитывающие без супруга (супруги) детей в возрасте до пяти лет, а также опекуны детей указанного возраста могут привлекаться к работе в ночное время только с их письменного согласия и при условии, если такая работа не запрещена им по состоянию здоровья в соответствии с медицинским заключением. При этом указанные работники должны быть в письменной форме ознакомлены со своим правом отказаться от работы в ночное время.

(в ред. Федеральных законов от 24.07.2002 N 97-ФЗ, от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Порядок работы в ночное время творческих работников средств массовой информации, организаций кинематографии, теле- и видеосъемочных коллективов, театров, театральных и концертных организаций, цирков и иных лиц, участвующих в создании и (или) исполнении (экспонировании) произведений, в соответствии с перечнями работ, профессий, должностей этих работников, утверждаемыми Правительством Российской Федерации с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений, может устанавливаться коллективным договором, локальным нормативным актом, трудовым договором.

(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 28.02.2008 N 13-ФЗ)

Статья 97. Работа за пределами установленной продолжительности рабочего времени

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Работодатель имеет право в порядке, установленном настоящим Кодексом, привлекать работника к работе за пределами продолжительности рабочего времени, установленной для данного работника в соответствии с настоящим Кодексом, другими федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором (далее - установленная для работника продолжительность рабочего времени):

для сверхурочной работы (статья 99 настоящего Кодекса);

если работник работает на условиях ненормированного рабочего дня (статья 101 настоящего Кодекса).

Статья 98. Утратила силу. - Федеральный закон от 30.06.2006 N 90-ФЗ.

Статья 99. Сверхурочная работа

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Сверхурочная работа - работа, выполняемая работником по инициативе работодателя за пределами установленной для работника продолжительности рабочего времени: ежедневной работы (смены), а при суммированном учете рабочего времени - сверх нормального числа рабочих часов за учетный период.

Привлечение работодателем работника к сверхурочной работе допускается с его письменного согласия в следующих случаях:

1) при необходимости выполнить (закончить) начатую работу, которая вследствие непредвиденной задержки по техническим условиям производства не могла быть выполнена (закончена) в течение установленной для работника продолжительности рабочего времени, если невыполнение (незавершение) этой работы может повлечь за собой порчу или гибель имущества работодателя (в том числе имущества третьих лиц, находящегося у работодателя, если работодатель несет ответственность за сохранность этого имущества), государственного или муниципального имущества либо создать угрозу жизни и здоровью людей;

2) при производстве временных работ по ремонту и восстановлению механизмов или сооружений в тех случаях, когда их неисправность может стать причиной прекращения работы для значительного числа работников;

3) для продолжения работы при неявке сменяющего работника, если работа не допускает перерыва. В этих случаях работодатель обязан немедленно принять меры по замене сменщика другим работником.

Привлечение работодателем работника к сверхурочной работе без его согласия допускается в следующих случаях:

1) при производстве работ, необходимых для предотвращения катастрофы, производственной аварии либо устранения последствий катастрофы, производственной аварии или стихийного бедствия;

В соответствии с Федеральным законом от 07.12.2011 N 417-ФЗ с 1 января 2013 года в пункте 2 части третьей данной статьи слова "систем водоснабжения, газоснабжения, отопления, освещения, канализации," будут заменены словами "централизованных систем горячего водоснабжения, холодного водоснабжения и (или) водоотведения, систем газоснабжения, теплоснабжения, освещения,".

2) при производстве общественно необходимых работ по устранению непредвиденных обстоятельств, нарушающих нормальное функционирование систем водоснабжения, газоснабжения, отопления, освещения, канализации, транспорта, связи;

3) при производстве работ, необходимость которых обусловлена введением чрезвычайного или военного положения, а также неотложных работ в условиях чрезвычайных обстоятельств, то есть в случае бедствия или угрозы бедствия (пожары, наводнения, голод, землетрясения, эпидемии или эпизоотии) и в иных случаях, ставящих под угрозу жизнь или нормальные жизненные условия всего населения или его части.

В других случаях привлечение к сверхурочной работе допускается с письменного согласия работника и с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации.

Не допускается привлечение к сверхурочной работе беременных женщин, работников в возрасте до восемнадцати лет, других категорий работников в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами. Привлечение к сверхурочной работе инвалидов, женщин, имеющих детей в возрасте до трех лет, допускается только с их письменного согласия и при условии, если это не запрещено им по состоянию здоровья в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации. При этом инвалиды, женщины, имеющие детей в возрасте до трех лет, должны быть под роспись ознакомлены со своим правом отказаться от сверхурочной работы.

Продолжительность сверхурочной работы не должна превышать для каждого работника 4 часов в течение двух дней подряд и 120 часов в год.

Работодатель обязан обеспечить точный учет продолжительности сверхурочной работы каждого работника.