Примеры на преобразование выражений содержащих радикалы. Как упростить сложный радикал

Соглашение

Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":

Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;

Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);

Запрещается использовать чужие данные;

Запрещается использовать чужие e-mail адреса;

Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:

1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.

1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).

1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.

4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.

4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.

4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".

4.4. Угрозы в адрес участников форума.

4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.

4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.

4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.

4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.

5.1. Мат и ненормативная лексика.

5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).

5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.

5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.

5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.

5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).

5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.

5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.

5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.

5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.

6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.

6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.

6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.

6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.

6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.

6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.

7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума

7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.

7.4. Удаление учетной записи.

7.5. Блокировка IP.

8. Примечания

8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.

8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.

8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.

8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.

9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.

Тема урока :

Преобразование выражений, содержащих радикалы.

Цель урока :

Образовательная:

Формирование умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы;

закрепить понятия свойства корня n -ой;

способствовать совершенствованию умений и навыков по работы в Microsoft Office Excel при обработки информации на производстве.

Развивающая:

развитие мыслительных умения: структурировать объекты (выделять составные части объекта и располагать их в иерархическом виде).

развивать творческое (продуктивное) мышление (в процессе составления ребуса),

Воспитательная:

воспитание общей и информационной культуры, трудолюбия, усидчивости, терпения, бережного отношения к компьютерной технике, привитие учащимся навыков самостоятельности в работе.

Тип урока : систематизация знаний

Вид урока: проблемный

Методические приемы: наглядно – иллюстративный: ребус, компьютерное тестирование, практический: выборочное решение примеров, задачи производственной направленности

Оборудование и наглядные средства обучения : компьютерный класс с ОС Windows XP и пакетом программ Microsoft Office 2003,мультимедийный проектор, презентация, компьютерный тест, раздаточный материал (ребус).

Межпредметные связи: математика- информатика- производственное обучение.

Ход урока:

I .Организационный момент : Подготовка учащихся к уроку

(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей), сообщение темы и целей

урока. Слайд1,2

Мотивация.

II .Актуализация опорных знаний:

2.1 Фронтальный опрос:

2.2.1 Что такое радикал? Слайд 5.

2.2.3Перечислите:

а)свойства корня n -ой степени. Слайд 6.

б) корень из дроби. Слайд7.

в)Извлечение корня из корня. Слайд 8.

г)основное свойство корня. Слайд 9.

III . Практическая работа.

Решите примеры.По ответу в примере выберите соответствующую букву в ребусе, запишите ответ в таблицу. Полученный термин «----»- организованная последовательность действий.

V . Подведение итогов урока:

Сегодня на уроке мы с вами подтвердили слова русского ученого М.В. Ломоносова

“ Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. (М.В.Ломоносов) . Без радикалов не возможно вычислить затраты электроэнергии по предприятию.А обучаясь в данном лицее по профессии «Оператор ЭВМ» и получая на уроках производственного обучения информацию о работе на вычислительной - техникой вы можете обработать любую информацию, пользуясь информационными технологиями. Поэтому слова Натан Ротшильд «Кто владеет информацией, владеет миром» очень актуальны при работе по вашей профессии на любом предприятии или заводе.

Выставление оценок за урок.

V .Домашнее задание:

В 8 классе школьники на уроках математики знакомятся с таким понятием, как «радикал» или, попросту говоря, «корень». Тогда же они впервые сталкиваются с такой проблемой, как упрощение сложных радикалов. Сложные радикалы – это такие выражения, в которых один корень находится под другим. Поэтому их ещё иногда называют вложенными радикалами. В данной статье репетитор по математике и физике подробно рассказывает о том, как упростить сложный радикал .

Методы упрощения сложных радикалов

Упростить сложный радикал — значит избавиться от внешнего корня. Правильнее всего начать изучение этой темы с упрощения двойных радикалов. Ведь если мы научимся упрощать двойные радикалы, то и более сложные тоже сумеем.

Как нам избавиться от внешнего корня? Понятно, что для этого нужно преобразовать подкоренное выражение, представив его в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся известной формулой «Квадрат разности»:

Здесь, как видите, справа у отрицательного члена есть множитель . Поэтому и под корнем давайте получим этот множитель. Для этого представим в виде произведения на :

Тогда и . Осталось только обратить внимание на то, что . Теперь видно, что под корнем у нас получился квадрат разности:

Теперь вспоминаем, что . Именно модулю. Здесь это очень важно, потому что квадратный корень – положительное число. Тогда получаем:

Ну а поскольку title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:

Вот так просто нам удалось упростить этот радикал. Но есть и более сложные случаи, когда не сразу удаётся догадаться, как представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Например, в следующем примере.

Чтобы долго не ломать голову, можно воспользоваться следующим способом.

Напоминаю, что наша цель состоит в том, чтобы представить выражение под корнем в виде полного квадрата. Конкретно в этом примере в виде квадрата суммы:

Ну а квадрат суммы раскрывается по известной формуле, которую мы сегодня уже писали:

Так вот, идея, собственно, состоит в том, чтобы за взять иррациональную часть подкоренного выражения, а за – рациональную. Тогда получается следующая система уравнений:

Понятно, что и . Иначе не выполняется второе уравнение системы. Тогда выражаем коэффициент из второго уравнения:

Знаменатель этой дроби не равен нулю, значит нулю равен её числитель. Получаем биквадратное уравнение, которое решается стандартным способом (подробнее смотрите в приложенном видео). Решая его, мы получаем аж 4 корня. Можно взять любой. Мне больше нравится . Тогда . Итак, получаем окончательно:

Вот такой способ, как упростить сложный радикал. Есть ещё один. Для любителей запоминать сложные формулы, коим я не являюсь. Но для полноты описания расскажу и о нём тоже.

Формула сложных радикалов

Вот так выглядит эта формула:

Довольно страшная, не правда ли? Но не бойтесь, её действительно можно успешно применять в некоторых случаях. Разберём на примере:

Подставляем в формулу соответствующие значения:

Вот такой получается ответ.

Итак, сегодня на занятии я рассказал о том, как упростить сложный радикал. Если вы не знали ранее методы, о которых сегодня шла речь, то скорее всего вам еще нужно очень многому научиться, чтобы чувствовать себя уверенным на ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике. Но не переживайте, я могу вас всему этому научить. Вся необходимая информация о моих занятиях находится на . Удачи вам!

Материал подготовил , Сергей Валерьевич

Тема урока :

«Преобразование выражений, содержащих радикалы»

Цель урока :

Образовательная:

Формирование умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы;

закрепить понятия свойства корня n -ой;

Развивающая:

развивать творческое (продуктивное) мышление (в процессе составления ребуса),

Воспитательная:

Тип урока : систематизация знаний

Вид урока: проблемный

Межпредметные связи: математика- информатика- производственное обучение.

Ход урока:

I .Организационный момент : Подготовка учащихся к уроку

(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей), сообщение темы и целей

урока. Слайд1,2

Мотивация.

Слайд3,4

В связи с большим скоплением на производстве цифровых данных обработка информации не возможна без применения вычислительной техники. Операторы ЭВМ обрабатывают информацию с помощью информационных технологий. Сегодня на уроке мы применим ваши математические и профессиональные знания при решении задачи производственной направленности.

Задача:

Вычислите среднее значение коэффициента мощности по цеху, если показания счетчика активной энергии в начале и конце месяца были соответственно 2326 и 2476 Квтч, показания реактивной энергии в начале и конце месяца соответственно 1673 и 1773 КвАрч. Вычисления производить в программе Microsoft Office Excel 2003.

Слайд 5.

Но к решению задачи мы приступим немного позже.

Инструктаж по технике безопасности. Слайд 6.

II .Актуализация опорных знаний:

2.1 Компьютерное тестирование (6 человек, 10 минут)

Слайд 7.

2.2 Фронтальный опрос (с оставшейся группой):

2.2.1 Что такое радикал? Слайд 8.

2.2.3Перечислите:

а)свойства корня n -ой степени. Слайд 9.

б) корень из дроби. Слайд10.

в)Извлечение корня из корня. Слайд 11.

г)основное свойство корня. Слайд 12.

Проверка теста.(При необходимости разбор теста через мультимедиа проектор).

III . Практическая работа.

Слайд 13.

IV .Закрепление пройденного материала.

Преподаватель разбирает решение задачи на доске.

Слайд 14.

Для того, чтобы вычислить среднее значение коэффициента мощности по цеху, которое не должно превышать 0,99-0,75 (только в этом случае нет простоя оборудования), нужно найти косинус угла. Вычисления производятся по Теореме Пифагора(так как треугольник прямоугольный).Первый катет – реактивная энергия, второй катет – активная энергия, гипотенуза – полная энергия. Косинус угла – это отношение активной энергии к полной. А полная энергия – это радикал второго порядка

Учащиеся используя инструкционную карту выполняют работу на компьютере, используя Microsoft Office Excel 2003.

V .Подведение итогов урока:

Сегодня на уроке мы с вами подтвердили слова русского ученого М.В. Ломоносова

Выставление оценок за урок.

VI .Домашнее задание: § 36. №36.17,№36.23

Алгебраические выражения, в записи которых используются не только четыре рациональных действия, но также знаки радикала (из буквенных выражений), мы называем иррациональными алгебраическими выражениями.

Таковы, например, выражения

При определении о. д. з. иррациональных алгебраических выражений следует учитывать, что выражения, находящиеся под знаком радикала четной степени, не должны быть отрицательными, При отыскании числовых значений выражения при данных буквенных значениях параметров корни четной степени понимаются в арифметическом смысле.

Пример 1. Найти о. д. з. выражения

и его значение при .

Решение. О. д. з. определяем из условий . Находим, что о. д. з. определяется неравенствами . При вычислении значения в заданной точке получаем

При преобразовании иррациональных алгебраических выражений используются все правила действий с корнями (гл. I, § 2). Рассмотрим сначала возможные упрощения выражения типа «корень из одночлена» или «корень из частного двух одночленов». Будем говорить, что корень приведен к простейшей форме, если: 1) он не содержит иррациональности в знаменателе, 2) в нем нельзя сократить его показатель с показателем подкоренного выражения и, наконец, 3) все возможные множители вынесены из-под корня. Всякий данный корень может быть приведен к простейшей форме, т. е. заменен тождественно равным ему, но таким, который отвечает всем трем перечисленным условиям.

Пример 2. Привести к простейшей форме следующие корни :

Решение, а) Сокращаем на 3 показатель корня и показатель степеней каждого из сомножителей подкоренного выражения

Выносим из-под знака корня множители а и ;

Корни, простейшие формы которых отличаются, быть может, лишь коэффициентами (числовыми или буквенными), принято называть подобными. Например, корни и подобны, так как а корни не подобны, так как

При сложении и вычитании подобных корней все они приводятся к простейшей форме, а затем корень выносится за скобки.

Пример 3. Произвести указанные действия:

Решение. Приведем каждый из корней к простейшей форме:

Теперь находим (все корни оказались подобными)

При вынесении сомножителей из-под знака корня четной степени необходимо помнить, что корень понимается в арифметическом смысле. Так, если знаки а, b не указаны, то следует писать не . Здесь о. д. з. состоит не только из значений , но и из значений а

Пример 4. Упростить выражение

Возможны следующие случаи:

Если не предполагать заранее, что , то решение примера еще усложнится, так как придется записать ответ в общей форме:

и затем разбирать четыре возможных случая: . Предоставляем завершить этот разбор читателю.

В примере, который мы сейчас решали, подкоренные выражения представлялись как точные квадраты некоторых двухчленов очевидным способом. В некоторых случаях такое представление подкоренного выражения производится не столь очевидным образом. Так, иногда можно упростить радикалы вида