Методическая разработка урока тригонометрические функции, их свойства и графики. Повторение и обобщение "Тригонометрическая функция у=tgx, ее свойства и график" План урока тригонометрические функции и их свойства

Государственное автономное профессиональное

образовательное учреждение

"Орский медицинский колледж"

Методическая разработка по дисциплине

ОДБ.06 Математика

Тема:

СОСТАВИТЕЛЬ РАССМОТРЕНО

на заседании ЦМК

Преподаватель математики: общегуманитарных,

И.В.Аброськина математических и

естественнонаучных дисциплин

Протокол №____

от_____________2016г.

Председатель ЦМК:

Т.В.Губская

Орск, 2016 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В основе Федерального государственного образовательного стандарта лежит системно-деятельностный подход. ФГОС ставит перед педагогами новые задачи.

развитие и воспитание личности в соответствии с требованиями современного информационного сообщества;

развитие у обучающихся способности самостоятельно получать и обрабатывать информацию по учебным вопросам;

индивидуальный подход к студентам;

развитие коммуникативных навыков у студенетов;

ориентировка на применение творческого подхода при осуществлении педагогической деятельности.

Системно-деятельностный подход как основа ФГОС помогает эффективно реализовывать эти задачи. Главным условием при реализации стандарта является включение обучающихся в такую деятельность, когда они самостоятельно будут осуществлять алгоритм действий, направленных на получение знаний и решение поставленных перед ними учебных задач. Системно-деятельностный подход как основа ФГОС помогает развивать способности детей к самообразованию.

В рамках данного подхода и разработана тема " Тригонометрические функции, их свойства и графики".

Методическая разработка основана на Рабочей программе (ФГОС, специальности 34.02.01 Сестринское дело, 31.02.03 Лабораторная диагностика), по которой на изучении темы "Тригонометрические функции, их свойства и графики" отводится 2 часа практического занятия. В рамках темы рассматриваются основные свойства тригонометрических функций и их графики, связь данных функций с медициной и другими областями знаний, подчеркивается важность данной темы.

В ходе освоения темы "Тригонометрические функции, их свойства и графики" студенты осознают роль математики и тригонометрии в медицине, а именно по расшифровке кардиограммы сердца, учатся высчитывать ЧСС (частоту сердечных сокращений), распознавать синусовый ритм (нормальный, тахикардия, брадикардия).

При изучении данной темы прослеживается связь с медициной, биологией, анатомией, что безусловно вызывает мотивацию у студентов к изучению данной темы, и позволяет в дальнейшем углубить знания по предмета.

В процессе изучения темы "Тригонометрические функции, их свойства и графики" студенты смогут в реальной жизни и в совей профессиональной деятельности определять по кардиограмме сердца ЧСС и делать заключение о характере синусового ритма.

Тема: Тригонометрические функции, их свойства и графики

Обучающие:

Знать все свойства тригонометрических функций, уметь строить графики тригонометрических функций. Уметь делать заключение по кардиограмме сердца о синусоидном ритме и ЧСС.

Развивающие:

y от x

Воспитательные:

Воспитывать аккуратность, целеустремленность, дисциплинированность.

продолжить воспитание активности, взаимопомощи, творческого отношения к делу.

Средства обучения, оборудование

План-конспект,компьютер, проектор, презентация.

Вид учебного занятия

Теоретическо-практическое

Применяемые технологии

Системно-деятельностный подход, информационные технологии, технология проблемного обучения.

Структура занятия

Этап 1.

Организационный момент / 1-2 минуты

Деятельность обучающихся

Подготовка к занятию

Деятельность преподавателя

Проверка присутствующих, настрой на урок

Этап 2.

Мотивационный момент / 2 минуты

Деятельность обучающихся

Формулирование цели урока

Деятельность преподавателя

1.Формулирует тему урока

2. Подводит учащихся к формулировке цели урока

3. Вызывает интерес к изучаемому материалу различными методами 4. Создает мотивацию

Этап 3.

Фронтальный опрос / до 8 минут

Деятельность обучающихся

Отвечают на вопросы

Деятельность преподавателя

Этап 4.

Изучение нового материала /50 минут

Деятельность обучающихся

1. Работа с конспектом, запись в тетрадь основных моментов, указанных преподавателем

2. Самостоятельное описание свойств тригонометрических функций по графику

3. Тригонометрия в жизни человека; Связь тригонометрии с медициной, исследовательская работа (презентации) - 2 группы студентов

Деятельность преподавателя

Объяснение нового материала:

1. Постановка проблемного вопроса:

Каково значение тригонометрии для медицины?

2. Функция вида (определение, график)

3. Функция вида (определение, график

4. Показ видео "ЭКГ под силу каждому"

Этап 5.

Этап закрепления и обобщения знаний / 20 минут

Деятельность обучающихся

1. Работа в группах. Создание "консилиума" медиков и постановка заключения по кардиограмме сердца о синусоидном ритме и частоте сердечных сокращений (ЧСС)

2. подведение итогов, запись выводов в тетрадь

Деятельность преподавателя

1.Помощь в формулировке выводов

2.Контроль и коррекция знаний, предоставление возможности выявления причин ошибок и их исправления.

Этап 6.

Рефлексия /6 минут

Деятельность обучающихся

2.Работают с конспектами

Пометки на полях:

«+» - знал

«!» - новый материал (узнал)

«?» - хочу узать

Деятельность преподавателя

Контроль за результатом учебной деятельности, оценка знаний .

Этап 7.

Домашнее задание / 2 минуты

Содержание домашнего задания

Без знания математики нельзя понять ни основ

современной техники, ни того как ученые изучают

природные и социальные явления.

А.Н. Колмагоров

Урок по теме : Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Организационная информация

Тема урока: Тригонометрические функции, их свойства и графики

Предмет: Математика

Преподаватель: Аброськина Ирина Владимировна

Образовательное учреждение: ГАПОУ "Орский медицинский колледж"

Методическая база:

1. Луканкин А.Г. - Математика: учеб. для учащихся сред. проф. образования/ А.Г. Луканкин. - М.: ГЭОТАР - Медиа, 2012. - 320 с.

2. Мордкович А.Г. - Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2012. - 336 с.

3. Учеба. ru

4. Math . ru «библиотека»

5. История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3 Э. Т. Бэлл Творцы математики.

6. Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.

7. Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г. А. В. Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г. Газета Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.

Тип урока: комбинированный

Длительность: 2 учебных часа

Цель урока: Изучение тригонометрических функций, их свойств и графиков.

Определение роли тригонометрии для медицины.

Задачи урока:

Обучающие : Знать все свойства тригонометрических функций, уметь строить графики тригонометрических функций. Уметь делать заключение по кардиограмме сердца о синусоидном ритме и ЧСС.

Развивающие: Продолжить формирование умений и навыков по построению графиков, применяя зависимость y от x . Показать значимость тригонометрии для медицины.

Воспитательные: Воспитывать аккуратность, целеустремленность, дисциплинированность. П родолжить воспитание активности, взаимопомощи, творческого отношения к делу.

Используемые технологии: системно- деятельностный подход, развивающее обучение, групповая технология, элементы исследовательской деятельности, ИКТ.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, презентации студентов, видео "ЭКГ под силу каждому"

План урока:

1. Организационный момент - 1-2 мин.

2. Мотивационный момент - 2 мин.

3. Фронтальный опрос - 8 мин.

4. Изучение нового материала - 50 мин.

5. Закрепление и обобщение знаний - 20 мин

6. Рефлексия - 6 мин.

7. Домашнее задание - 2 мин.

Ход урока

1. Организационный момент

Проверка присутствующих, настрой на урок.

2. Мотивационный момент

Сообщение темы урока

Подведение студентов к самостоятельному формулированию цели урока

Подчеркивание важности данной темы, для медицины и окружающего мира.

3. Фронтальный опрос

Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач)

Ответы студентов на вопросы преподавателя ( На этом этапе происходит актуализация знаний учащихся, необходимых для дальнейшей работы на уроке):

1. Что такое тригонометрические функции числового аргумента?

2. Каково значение тригонометрических функций в первой четверти(таблица значений)?

3. Какие функции являются четными, а какие нечетными?

4. Какова симметрия графиков четных и нечетных функций?

5. Какие из тригонометрических функций являются четными (нечетными)?

4. Изучение нового материала

1) Начать изучение темы мне хотелось бы со слов великого математика Николая Ивановича Лобачевского:" Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира"

2) Поставим вопрос: Каково значение тригонометрии для медицины?

Надеюсь, после изучения нашей темы, каждый из вас сможет ответить на поставленный вопрос.

3) Итак, начнем изучение тригонометрических функций, рассмотрим их основные свойства и построим их графиики.

Тригонометрические функции

Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

3. Функция нечетная.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.

3. Функция нечетная.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

4) Зачем человеку нужно в жизни знание свойств функций и умение читать графики? Любые периодически повторяющиеся движения называются КОЛЕБАНИЯМИ

Практика изучения колебаний показала полезную и вредную роль.

Каждому специалисту необходимо владеть теорией колебательных процессов.

Теория колебаний- это область науки, связанная с математикой, физикой и медициной. Гармонические колебания

Механические колебания

Вибрация. Вредные воздействия вибрации

Ультразвук

Инфразвук звук

Электромагнитные колебания (применяются для радио, телевидения,

связи с космическими объектами)

Вывод :

Колебания происходят по законам синусов и косинусов

Свойства тригонометрических функций показывают какие параметры могут изменяться

Результаты измерений и расчёты показывают как избежать вредных воздействий колебаний и как их применять

5) Остановимся подробнее, на теории колебаний в медицине. Где вы встречаетесь с колебаниями в своем организме - СЕРДЦЕ. Как называют кардиограмму сердца - СИНУСОИДА. Следовательно, сердце работает по тригонометрическим законам, и нам просто необходимо их знать и понимать.

Также тригонометрические законы встречаются и в окружающем нас мире:

В природе (биология)

В архитектуре (здания, сооружения)

В музыке (гармоничные мелодии)

и в других областях.

Сейчас вашему вниманию, группа студентов представит вам свои исследовательские работы на данную тему. Представление презентаций студентами на темы:

- "Связь тригонометрической функции и медицины"

- "Тригонометрия в медицине"

- "Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека"

6) Просмотр учебного видеофильма "ЭКГ под силу каждому"

7) Знакомство студентов с ЭКГ здорового человека, и с нарушением ритма.

8) Формула подсчета ЧСС (частоты сердечных сокращений)

5. Закрепление и обобщение знаний

1. Разбить студентов на 2 группы.

2. Работа в группах. Создание "консилиума" медиков и постановка заключения по кардиограмме сердца о синусовом ритме и частоте сердечных сокращений (ЧСС)

3. Озвучивание своих заключений (по одному представителю от группы)

4. Основные выводы, коррекция преподавателем основных выводов.

6. Рефлексия

1. Самостоятельное подведение итогов урока, самоанализ и самооценка .

2. Работа с конспектами

Пометки на полях:

«+» - знал

«!» - новый материал (узнал)

«?» - хочу узнать

3. Оценка знаний.

7. Домашнее задание

1. Математика, Башмаков М.И.,2012 - Стр.107/Стр.165

2. Подготовить (по желанию) сообщение: «Тригонометрия в медицине и биологии»

Приложение к уроку

Презентации студентов

(исследовательских групп)

Муниципальное казенное вечернее (сменное) общеобразовательное учреждение «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа №4 при исправительной колонии»

План-конспект и презентация к уроку

алгебры и начала анализа в 10 классе по теме

«Тригонометрические функции и их свойства»

Тема урока: «Тригонометрические функции и их свойства»

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по изучаемой теме, провести контроль уровня усвоения материала;

Развивающие: развитие математического мышления, интеллектуальных и познавательных способностей, развитие умения обосновать свое решение, контролировать и оценивать результаты своих действий;

Воспитательные: воспитание культуры общения, познавательной активности, чувства ответственности за выполненную работу, дисциплинированности, аккуратности, самостоятельности.

Оборудование и материалы для урока: мультипроектор, презентация для сопровождения урока, листы самоконтроля, карточки с текстом самостоятельной работы.

Тип урока: урок-смотр знаний

Ход урока.

I . Организационный момент.

II . Сообщение темы и целей урока.

Сегодняшний урок мне хотелось бы начать со слов великого ученого-физиолога И.П Павлова:

«Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее». Слайд 2

Мы живем в реальном мире и для его познания нам необходимы знания. Но прежде, чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедиться, что мы крепко стоим на ногах, имеем хорошие, прочные знания по изучаемой теме.

Скажите, пожалуйста, какую тему мы изучаем?

А всякое знание должно перейти в умение и навык. Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем имеющиеся знания по этой теме. Проверим свои знания, умения и навыки, выясним пробелы и попытаемся их ликвидировать.

Актуализация опорных знаний.

1 . Фронтальный опрос.

Назовите тригонометрические функции, которые вы знаете?

А теперь повторим свойства известных нам тригонометрических функций.

(Учащиеся называют свойства тригонометрических функций, каждый правильный ответ высвечивается на слайде. В результате обсуждения появляется таблица.) Слайд 3-6

2. Устная работа по решению простейших задач на преобразование графиков тригонометрических функций. Слайд 7-9

Работа с листами самоконтроля. (Приложение 1)

На уроке вы будете выполнять различные задания, и постепенно будете заполнять лист самоконтроля учащегося. Подпишите лист самоконтроля и познакомьтесь с его содержанием. Оцените насколько вы готовы к выполнению заданий и поставьте прогностическую оценку. И пока лист отложите.

Графический диктант.

Результатом выполнения диктанта на листках самоконтроля обучающихся станет такая запись.

где знаками обозначено: + да, нет. После окончания диктанта обучающие обмениваются диктантом с соседом по парте для проверки. Каждый верный ответ оценивается в 1 балл, за неверный ответ и отсутствие ответа выставляется 0 баллов. Слайд 10

Самостоятельная работа по вариантам. (Приложение 2)

I вариант.

нет точек пересечения

II вариант.

Укажите множество значений функции:

4) нет точек пересечения

Найдите наименьший положительный период функции

Самопроверка. Слайд 11

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл, за неверный ответ и отсутствие ответа выставляется 0 баллов.

Работа в группах. Слайд 12

Выполнение заданий повышенной сложности.

Напоминаю порядок работы в группах: 10 минут самостоятельно решаете задание, 5 минут обсуждаете решение заданий коллективно. Не забудьте поставить самооценку и определить свой уровень знаний. За безошибочное выполнение задания выставляется 2 балла, решение с недочетами оценивается в 1 балл.

I группа

Постройте график функции

II группа

Постройте график функции

2) Найдите наименьший положительный период функции:

Кто желает объяснить свое решение? Слайд 13-15

Итог урока.

Подведем итог нашей работы. Подсчитайте баллы и согласно критериям поставьте итоговую оценку. Если вы довольны своими результатами, то под своей оценкой поставьте подпись. Проанализируйте свой уровень знаний. Если не все получилось, подумайте, над чем еще нужно поработать.

Задание на дом еще раз проанализировать что удалось, что не удалось, над чем надо еще поработать. К заданиям, в которых вы допустили ошибки, подберите аналогичные задания и решите их. Результаты вашей работы на уроке мне покажут ваши листы самоконтроля. Спасибо за урок!

Приложение 1

Лист самоконтроля учащегося ________________________________________

(фамилия, имя)

К уроку алгебры и начал анализа по теме «Тригонометрические функции и их свойства»

Прогностическая оценка ________

№1. Графический диктант.

№2. Самостоятельная работа.

№3. Работа в группах. Задания повышенной сложности.

Если вы набрали 21-23 балла – оценка «5»

16-20 баллов – оценка «4» Я набрал ________баллов

10-15баллов – оценка «3» Моя оценка «____»___________________

(подпись учащегося)

Ответьте на вопросы и поставьте оценку по 5-ти бальной системе

Как, на ваш взгляд, прошел урок, все ли вам было понятно? _______________

Вы себя уверенно чувствовали на уроке? ___________________

Достаточно ли было вам знаний, полученных ранее ? ____________

Приложение 2

Самостоятельная работа.

I вариант.

1.Укажите множество значений функции: у= 4х.

1)Множество действительных чисел;

2)Множество действительных чисел, кроме чисел вида ;

3)Множество действительных чисел, кроме чисел вида

Определите знак числа sin 1 cos 9 tg (-2)

3)невозможно определить

;

нет точек пересечения.

II вариант.

Множество действительных чисел;

2) Множество действительных чисел, кроме чисел вида

3) Множество действительных чисел, кроме чисел вида

3)невозможно определить

4) нет точек пересечения

Найдите наименьший положительный период функции

Просмотр содержимого презентации
«тригонометрические функции»

«Тригонометрические Функции и их свойства»

Пугачева А.В., учитель математики МКОУ «В(С)ОШ №4 при ИК»

г. Мариинска, Кемеровской области

«Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не бе- ритесь за последующее, не усвоив предыдущее» .

И.П Павлов

y x

График функции

Свойства функции

Область определения

Точки пересечения графика с осями

координат

Четность / нечетность

Промежутки

возрастания

монотонности

нечетная

монотонности

нечетная

убывания

Экстремумы

Периодичность

Промежутки знакопостоянства

Множество значений

y x

График функции

Свойства функции

Область определения

Точки пересечения графика с осями

координат

Четность / нечетность

Промежутки монотонности

возрастания

убывания

Экстремумы

Периодичность

Промежутки знакопостоянства

Множество значений

График функции

ytg x

Свойства функции

Область определения

Точки пересечения графика с осями

координат

Четность / нечетность

Промежутки

возрастания

нечетная

монотонности

нечетная

возрастания

монотонности

убывания

Экстремумы

Периодичность

Промежутки знакопостоян-cтва

Множество значений

Свойства функции

Область определения

Точки пересечения графика с осями

координат

Четность / нечетность

Промежутки

монотонности

возрастания

монотонности

возрастания

нечетная

Экстремумы

убывания

Экстремумы

Периодичность

Промежутки знакопостоян-cтва

Множество значений

График функции

ytg x

1. График какой функции изображен на рисунке?

-1

1) ycos x

2) y2 cos x

3) y2cos x

4) y2 sin x

2. График какой функции изображен на рисунке?

1) y x

2) y 2x

4) ycos x

3) y 2x

3. График какой функции изображен на рисунке?

1) y2cos x

2) ycos(x+

3) ycos x+ 1

4) ycos(x+

Проверка графического диктанта:

Самостоятельная работа.

Проверим:

I вариант.

II вариант.

I группа

1) Постройте график функции:

а) у=

б) у= 3

период функции:

у(х)=

II группа

1) Постройте график функции

а) у=

б) у= 2

2) Найдите наименьший положительный

период функции:

у(х)=cos5х

Проверим:

I группа

у=

у= 3

Проверим:

II группа

у=

I группа

Используем формулу для синуса разности двух углов

и получим

у(х)==

Т=2

II группа

Используем формулу для косинуса разности двух углов

и получим

у(х)==

Наименьший положительный период функции равен

Т=2

Уроки 25-26. Функции у = tg x, у = ctg x, их свойства и графики

09.07.2015 7626 0

Цель: рассмотреть графики и свойства функций у = tg х, у = ctg х.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант I

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Как построить график функции:

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции - тангенс и котангенс.

1. Функция у = tg x

Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).

Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.

Приведем основные свойства функции у = tg х:

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

y (x

3. Функция возрастает на промежутках вида где к ∈ Z .

4. Функция не ограничена.

6. Функция непрерывная.

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + п k ) = у(х).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты

Пример 1

Установим четность или нечетность функции:

Легко проверить, что для функций а, б область определения - симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y (- x ).

а) Получим: Так как выполнено равенство y (- x ) = у(х), то функция у(х) по определению четная.

б) Имеем:

Так как выполнено равенство y (- x ) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.

в) Область определения данной функции - несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.

Пример 2

Найдем основной период функции

Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны: T 1 = 2π, Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции

Пример 3

Построим график функции

Учтем правила преобразования графиков функции. В соответствии с ними график функции получается смещением графика функции у = tg х на π/4 единиц вправо вдоль оси абсцисс и его растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.

Пример 4

Построим график функции

Используя определение и свойства модуля, в аргументе функции раскроем знаки модуля, рассмотрев три случая. Если х < 0, то имеем: При 0 ≤ x ≤ π /4 имеем: Для х > π /4 имеем: Далее остается построить три части данного графика. При х < 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤ x ≤ π /4 строим тангенсоиду Этот график получается смещением графика функции у = tg х на π/8 вправо вдоль оси абсцисс и сжатием в два раза вдоль этой оси. При х > π /4 строим прямую у = 1.

2. Функция у = ctg x

Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения строится график функции у = ctg x .

Перечислим основные свойства функции у = ctg x :

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = п k , к ∈ Z .

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = - y (x )), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция убывает на промежутках вида (п k ; п + п k ), к ∈ Z .

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + п k ) = у(x ).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = п k .

Пример 5

Найдем область определения и область значений функции

Очевидно, что область определения функции y (x ) совпадает с областью определения функции z = ctg х, т. е. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х = nk , k ∈ Z .

Функция y (х) сложная. Поэтому запишем ее в виде Координаты вершины параболы y (z ): zB = 1 и y в = 2 - 4 + 5 = 3. Тогда область значений данной функции Е(у) = }

Тригонометрические функции

Просмотр содержимого презентации «тригонометрические функции»

Просмотр содержимого презентации
«тригонометрические функции»